線性代數筆記本

English

通常我們會拿筆記本來做一些計算、看看例子、或是拿來寫筆記。
線性代數筆記本的概念也是一樣的；
當你學到一個新的概念，你應該要動手算一算、觀察一些例子（正面的或反正的！）、最後把寫下屬於你自己的筆記。
這比較像是一個做實驗的過程，實驗執行者是是自己的大腦﹐而實驗對象是各個數學概念；
好好地把這份實驗紀錄下來，讓你未來的大腦可以快速回顧自己曾經做過的事吧！

下載整份筆記本：請至 LA-notebook Releases 下載最新版本的原始碼；愈新的版本在愈上面，一般使用者請點 Source code (zip) 下載。

使用方式

這份講義必須用 Jupyter 開啟，配合 SageMath 核心才能執行其中的程式碼。

以下提供兩種方式安裝 SageMath。

1. 在自己的機器上安裝 SageMath（速度較快）

1. 參考 安裝指南 下載並安裝 SageMath
2. 用上方連結下載整份筆記本
3. 利用 SageMath 安裝好的 Jupyter Notebook 開啟課程檔案中的 ipynb 檔

若自己的電腦無法安裝，或是希望使用網頁版 可以依照以下的步驟在 CoCalc 上開啟

2. 在 CoCalc 上開啟講義（速度會比較慢）

1. 申請 CoCalc 帳號
2. 用上方連結下載整份筆記本
3. 登入後點擊 Create New Project…（輸入自己想要的名稱）
4. 點 Upload 上傳第二步下載的 LA-notebook.zip
5. 點擊上傳的 zip 檔解壓縮

目錄

（各小節的連結僅為網頁版，若要執行其中程式碼請參考上方的使用方式。）

1. 線性幾何

1. 向量、長度、角度
2. Rn 中的子空間
3. 矩陣的行空間
4. 矩陣的列空間
5. 投影與鏡射
6. Rn 中的仿射子空間
7. Ax = b 的解集合
8. 列運算
9. 特解
10. 零解
11. 解的個數
12. 反矩陣
13. 基本矩陣
14. 四大基礎子空間

a. Sage: 矩陣、線性方程組

Basic geometry & subspaces
101 --> 102 --> {103, 104} --> 105

Affine subspace & solutions
(102 -->)
106 --> 107 --> 108 --> {109, 110} --> 111

Topics
112, 113, 114, 10a

2. 線性空間

1. 線性獨立
2. 基底
3. 行空間、左零解空間、及其基底
4. 列空間、零解空間、及其基底
5. 基底交換法則
6. 維度、擴充與縮限法則
7. 秩與核數
8. 向量空間
9. 向量子空間
10. 常見的向量空間
11. 建構新的子空間
12. 建構新的向量空間
13. 垂直幾何
14. 基底正交化
15. 垂直子空間

Spaces in Rn
201 --> 202 --> {203, 204} --> 205 --> 206 --> 207

Abstract spaces
208 --> 209 --> 210

Operations of spaces
211 -->  212

Inner product space
213 --> 214 --> 215

3. 線性函數

1. 函數基本概念
2. 線性函數
3. 將矩陣視為線性函數
4. 將線性函數化為矩陣
5. Rn 中的向量表示法
6. 向量空間中的向量表示法
7. 基底轉換
8. 同構
9. Rn 中的矩陣表示法
10. 向量空間中的矩陣表示法
11. 拉格朗日多項式、凡德孟矩陣
12. 西爾維斯特矩陣、結式
13. 體驗譜分解
14. 體驗奇異值分解
15. 體驗喬丹標準型

Linear function
301 --> 302 --> 303 -->304

Vector and matrix representations
305 --> 306 --> 307 --> 308 --> 309 --> 310

Topics
311, 312, 313, 314, 315

4. 行列式值

1. 小型矩陣的行列式值
2. 將可逆矩陣展開為基本矩陣的乘積
3. 基本矩陣與行超平行體
4. 基本矩陣與列超平行體
5. 行列式值的定義
6. 判斷矩陣是否可逆
7. 矩陣乘積與轉置
8. 區塊矩陣
9. 分配律、拉普拉斯展開
10. 伴隨矩陣
11. 克拉瑪公式
12. 排列矩陣
13. 排列展開式
14. 代數圖論觀點
15. 行列式值是定義完善的

Determinant for small matrices
401

Geometric interpretations
402 --> {403, 404}

Definition and properties
405 --> {406, 407, 408} --> 409

Adjugate
410 --> 411

Permutation expansion
412 --> 413 --> {414, 415}

5. 矩陣對角化

1. 找一組好基底
2. 二次曲線
3. 遞迴關係式
4. 線性微分方程
5. 矩陣指數
6. 特徵多項式
7. 特徵多項式係數
8. 矩陣對角化
9. 代數重數與幾何重數
10. 特徵空間
11. 圖與特徵方程式
12. 凱力–漢米頓定理
13. 最小多項式
14. 喬丹標準型

a. Python: NumPy 與數值線性代數

Good basis
501 --> {502, 503, 504, 505}

Characteristic polynomial
506 --> 507

Diagonalization
508 --> 509 --> 510

Topics
511, 512, 513, 514, 50a

6. 對稱矩陣論

1. 對一個特徵向量化簡
2. 薛爾上三角化
3. 對稱矩陣與正規矩陣
4. 譜分解
5. 奇異值分解
6. 體驗主成份分析
7. 慣性
8. 正定與半正定矩陣
9. 瑞利商
10. 柯西交錯定理
11. 等量分割
12. 共變異數矩陣
13. 主成份分析
14. 拉普拉斯矩陣
15. 拉普拉斯嵌入法與譜分群

Schur triangulation
601 --> 602 --> 603 --> 604 --> 605 --> 606

Symmetric matrix
607 --> 608 --> 609 --> 610 --> 611

Statistics
612 --> 613

Laplacian matrix
614 --> 615

附錄

A. 索引暨翻譯對照表